在如图所示的几何体中,正方形所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直,,且,是的中点.(1)求*:∥平面;...
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问题详情:
在如图所示的几何体中,正方形所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直,,且,是的中点.
(1)求*:∥平面;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
*:(1)连接AE交BF于点N,连接MN.
因为ABEF是正方形,所以N是AE的中点,
又M是ED的中点,所以MN∥AD.
因为AD⊄平面BFM,MN平面BFM,
所以AD∥平面BFM.…………………6分
(2)因为ABEF是正方形,所以BE⊥AB,
因为平面ABEF⊥平面ABC,平面ABEF∩平面ABC=AB,
所以BE⊥平面ABC,因为CD∥BE,所以取BC的中点O,
连接OM,则OM⊥平面ABC,因为△ABC是正三角形,所以OA⊥BC,
所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系:
设CD=1,则B(0,1,0),E(0,1,2),D(0,﹣1,1),
,.
设平面BMF的一个法向量为,
则,所以,
令,则z=﹣6,y=﹣9,所以.
又因为是平面BME的法向量,
所以.
所以二面角E﹣BM﹣F的余弦值为.…………………12分
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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