如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于.（1）求*：；（2）若平面...

问题详情：

如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于.

（1）求*：；

（2）若平面平面， ，求直线与平面所成角的正弦值.

【回答】

（1）*见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意知，可得平面，在利用线面平行的*质定理即可*；

（2）取中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量夹角公式即可求解.

【详解】

（1）因为，分别为，的中点，所以，

又平面，平面，所以平面，

因为平面平面，

所以.

（2）因为平面平面，取中点，

连接， ，因为是等边三角形，所以，

所以平面，故，又因为，

所以，以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，得，，所以，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的*质定理，利用空间向量求线面角，属于中档题.

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题